¿Cómo se puede demostrar que en la energía potencial gravitatoria de un cuerpo rígido siempre se toma como nivel de altura la del centro de masa?

 

¿Cómo se puede demostrar que en la energía potencial gravitatoria de un cuerpo rígido siempre se toma como nivel de altura la del centro de masa?

En física, uno de los conceptos fundamentales para entender cómo interactúan los objetos bajo la influencia de la gravedad es la energía potencial gravitatoria. Para resolver muchos problemas en mecánica, especialmente aquellos relacionados con cuerpos rígidos, es necesario entender cómo se calcula esta energía en términos de la posición de un objeto respecto a la superficie de la Tierra o cualquier otro cuerpo masivo.

La energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria de un objeto es la energía almacenada debido a su posición en un campo gravitacional. Para un objeto de masa $m$, la fórmula básica de la energía potencial gravitatoria es:

$$U = m \cdot g \cdot h$$

donde:

• $U$ es la energía potencial gravitatoria,

• $m$ es la masa del objeto,

• $g$ es la aceleración debido a la gravedad,

• $h$ es la altura del objeto con respecto al nivel de referencia (generalmente el suelo o el nivel de la Tierra).

Ahora bien, si nos referimos a un cuerpo rígido, como puede ser un vehículo, una estructura, o un objeto compuesto por diferentes masas distribuidas en varias ubicaciones, necesitamos tomar en cuenta que la energía potencial gravitatoria no se calcula simplemente desde cualquier punto de su superficie, sino desde un punto específico que se conoce como el centro de masa del cuerpo.

El centro de masa

El centro de masa de un cuerpo rígido es el punto en el que se puede considerar que toda la masa del cuerpo está concentrada. Si tenemos un sistema de partículas o un cuerpo compuesto de múltiples partes con diferentes masas, el centro de masa es el promedio ponderado de las posiciones de todas las partículas del sistema.

Matemáticamente, para un cuerpo de varias partículas:

$$\mathbf{r}_{cm} = \frac{\sum_i m_i \mathbf{r}_i}{\sum_i m_i}$$

donde:

• $m_i$ es la masa de la $i$-ésima partícula,

• $\mathbf{r}_i$ es la posición de la $i$-ésima partícula,

• $\mathbf{r}_{cm}$ es la posición del centro de masa.

Por qué se toma como referencia la altura del centro de masa

Cuando se calcula la energía potencial gravitatoria de un cuerpo rígido, el nivel de altura siempre se toma en relación con el centro de masa por varias razones físicas:

1. Uniformidad en el cálculo: Tomar el centro de masa como referencia garantiza que se considere la distribución completa de la masa del cuerpo. Si se tomara cualquier otro punto en el cuerpo (como una esquina o un borde), no reflejaría de manera precisa el efecto total de la gravedad sobre el cuerpo.

2. Equilibrio en sistemas de partículas: Si se tratara de un sistema de partículas, cada partícula experimentaría la gravedad dependiendo de su posición. El centro de masa actúa como el "promedio" de todas esas posiciones, y esto permite un cálculo más simplificado y representativo de la energía potencial gravitatoria del sistema completo.

3. Conservación de la energía: En un sistema rígido, el centro de masa se mueve de forma predecible bajo la acción de fuerzas externas, y la energía potencial asociada con la gravitación depende de este movimiento. Si la energía potencial se calculase desde otro punto, no se respetaría la conservación de la energía en el sistema como un todo.

4. Comodidad matemática: Si tomamos el centro de masa como el nivel de referencia, las fórmulas para la energía potencial se simplifican considerablemente, ya que se puede asumir que el centro de masa está bajo una fuerza gravitacional uniforme y es el punto natural para describir el movimiento y la distribución de la masa.

Demostración del principio

Imaginemos un cuerpo rígido compuesto por varias partículas, cada una con una masa $m_i$ y una posición $\mathbf{r}_i$. La energía potencial gravitatoria total del cuerpo se calcula sumando las energías potenciales individuales de cada partícula en el cuerpo:

$$U = \sum_i m_i g h_i$$

donde $h_i$ es la altura de la partícula $i$ respecto al nivel de referencia. Sin embargo, si consideramos que la altura de cada partícula se puede expresar en términos de la altura del centro de masa, $h_{cm}$, tenemos que la energía potencial total del sistema se puede reescribir de la siguiente manera:

$$U = M g h_{cm}$$

donde $M = \sum_i m_i$ es la masa total del cuerpo y $h_{cm}$ es la altura del centro de masa.

Esta expresión muestra que, a efectos prácticos, la energía potencial gravitatoria de un cuerpo rígido puede considerarse como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa y estuviera a una altura $h_{cm}$. Es una simplificación que preserva la precisión en el cálculo de la energía.

Conclusión

La razón por la cual se toma como referencia el centro de masa de un cuerpo rígido al calcular la energía potencial gravitatoria es que proporciona una representación precisa de la influencia de la gravedad sobre el cuerpo entero. Usar el centro de masa como el nivel de referencia simplifica el cálculo y mantiene la coherencia con las leyes de la física, particularmente en la conservación de la energía y en la dinámica de sistemas de partículas.

Este enfoque también es útil para analizar sistemas complejos, ya que permite tratar al cuerpo como si fuera una única masa concentrada en un punto. Esto hace que el análisis sea mucho más sencillo y directo, sin perder la exactitud que se necesita para describir el comportamiento del sistema bajo la influencia de la gravedad.