¿La antiderivada de una función impar es par?

La pregunta sobre la simetría de las funciones y su relación con las derivadas e integrales indefinidas es fascinante para quienes aman el cálculo y la teoría matemática. En este artículo, vamos a explorar si la antiderivada de una función impar es siempre una función par, y en qué condiciones esto se cumple.

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¿Qué es una función impar?

Antes de entrar en el terreno de las antiderivadas, es vital que recordemos qué significa que una función sea impar:

Una función $f(x)$ es impar si cumple la condición:
$f(-x) = -f(x)$ para todo $x$ en su dominio.

Esto implica simetría respecto al origen. Es decir, si giramos su gráfica 180° alrededor del origen, obtenemos la misma función. Un ejemplo clásico de función impar es:

• $f(x) = x^3$

• $f(x) = \sin(x)$

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¿Qué es una función par?

En contraste, una función $g(x)$ es par si:

$g(-x) = g(x)$ para todo $x$ en su dominio.

Es decir, tiene simetría respecto al eje y. Ejemplos:

• $g(x) = x^2$

• $g(x) = \cos(x)$

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¿Qué es una antiderivada?

La antiderivada de una función $f(x)$ es otra función $F(x)$ tal que:

$F'(x) = f(x)$

A esto también se le llama integral indefinida:

$F(x) = \int f(x) dx$

Y recordemos que las antiderivadas no son únicas, porque:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Donde $C$ es una constante de integración.

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¿Qué ocurre cuando integramos una función impar?

Ahora vamos a la pregunta central:

¿La antiderivada de una función impar es una función par?

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1:

Sea $f(x) = x^3$, que es una función impar.
Su antiderivada es:

$$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$$

¿Es esta función par?

Veamos:

$$F(-x) = \frac{(-x)^4}{4} + C = \frac{x^4}{4} + C = F(x)$$

¡Sí! La antiderivada de una función impar puede ser una función par (en este caso, lo es).

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¿Se cumple siempre?

Aquí viene lo interesante: depende de la constante de integración $C$.

La función $\frac{x^4}{4}$ es par, pero al sumarle una constante arbitraria $C$, obtenemos:

$$F(x) = \frac{x^4}{4} + C$$

Esto ya no es estrictamente par, a menos que C = 0, porque:

$$F(-x) = \frac{x^4}{4} + C = F(x)$$

Pero si sumamos $C \neq 0$, la función sigue siendo par porque la constante no afecta la simetría. Una constante es par por sí misma, ya que no depende de $x$.

Por lo tanto:

✅ La antiderivada de una función impar puede ser una función par si se elige adecuadamente la constante de integración.

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Demostración general

Supongamos que $f(x)$ es una función impar.

Sea $F(x) = \int f(x) dx$

Queremos ver si $F(-x) = F(x)$

Recordemos que si $f(x)$ es impar, entonces:

$$f(-x) = -f(x)$$

Entonces, al hacer cambio de variable en la integral:

$$\int f(-x) dx = -\int f(x) dx$$

Pero esto no implica necesariamente que $\int f(x) dx$ sea par. Depende de cómo se defina la antiderivada.

Sin embargo, si definimos una antiderivada simétrica respecto al origen, es posible construir una función par.

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¿Y qué pasa con la derivada de una función par?

Un punto interesante es que:

✅ La derivada de una función par es una función impar.

Y de forma recíproca:

✅ Una antiderivada de una función impar puede ser par (como en los ejemplos que vimos).

Esto se deduce del hecho de que la derivada cambia el tipo de simetría de la función.

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Ejemplos adicionales

Ejemplo 2:

$f(x) = \sin(x)$, que es una función impar.
Su antiderivada es:

$$F(x) = -\cos(x) + C$$

$\cos(x)$ es par, entonces $-\cos(x)$ también es par. Por tanto, su antiderivada es par si se elige adecuadamente $C$.

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Conclusión

✅ La antiderivada de una función impar puede ser par.
📌 Pero no necesariamente todas las antiderivadas lo son, ya que la constante de integración puede romper esa simetría.
📚 En resumen:

• Si $f(x)$ es impar, su antiderivada puede ser par.

• La simetría depende de cómo definas la constante de integración.

• Este hecho se cumple en muchos casos clásicos (como con potencias impares o funciones trigonométricas).

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