📘 Si una función es derivable, ¿también es continua?
En el estudio del cálculo y el análisis matemático, dos conceptos fundamentales son la derivabilidad y la continuidad. A menudo se relacionan, pero ¿qué implica exactamente uno sobre el otro? ¿Ser derivable garantiza ser continua?
✅ Derivabilidad y continuidad: conceptos clave
-
Una función es continua en un punto si el límite cuando x tiende a ese punto es igual al valor de la función en dicho punto.
-
Una función es derivable en un punto si existe el límite del cociente de diferencias que define la derivada en ese punto.
📌 Entonces, ¿ser derivable implica ser continua?
Sí. Si una función es derivable en un punto, entonces es necesariamente continua en ese punto.
Esto se debe a que el proceso de derivación implica calcular un límite específico que solo puede existir si la función se comporta de manera predecible (es decir, continua) en su entorno cercano.
💡 Sin embargo, lo inverso no siempre es cierto: una función puede ser continua pero no derivable. Por ejemplo, la función valor absoluto |x| es continua en todo su dominio, pero no es derivable en x = 0, ya que presenta un "codo" o cambio brusco de dirección.
🧠 Ejemplo sencillo:
-
f(x) = x²
Esta función es derivable en todo ℝ ⇒ También es continua en todo ℝ. -
f(x) = |x|
Es continua en todo ℝ pero no derivable en x = 0.
📚 Conclusión
Si una función es derivable en un punto, entonces siempre será continua en ese punto.
Pero si es continua, no necesariamente es derivable.
Este tipo de distinciones son esenciales para profundizar en el análisis matemático y para entender cómo se comportan las funciones en situaciones reales como el modelado de fenómenos físicos o económicos.
No hay comentarios:
Publicar un comentario